Дано: правильный шестиугольник с центром O и радиусом R. Вершины шестиугольника обозначены как A1, A2, A3, A4, A5, A6 в порядке обхода по часовой стрелке.
Найти:
а) Доказать, что для каждой диагонали есть равная ей диагональ.
б) Доказать, что среди диагоналей есть перпендикулярные.
в) Доказать, что среди диагоналей есть параллельные.
Решение:
а) Доказательство равенства диагоналей:
В правильном шестиугольнике существуют три типа диагоналей по длине:
1. Диагонали, соединяющие вершины, которые разделены одной вершиной (например, A1A3).
2. Диагонали, соединяющие вершины, которые разделены двумя вершинами (например, A1A4).
3. Диагонали, соединяющие вершины, которые разделены тремя вершинами (например, A1A5).
Диагонали первого типа равны друг другу. Например, все диагонали, соединяющие вершины, разделенные одной вершиной (A1A3, A2A4, и т.д.), равны между собой.
Диагонали второго типа также равны друг другу. Например, все диагонали, соединяющие вершины, разделенные двумя вершинами (A1A4, A2A5, и т.д.), равны между собой.
Диагонали третьего типа равны радиусу окружности, на которой расположен правильный шестиугольник.
Таким образом, каждая диагональ имеет свою равную диагональ.
б) Доказательство перпендикулярности диагоналей:
Рассмотрим диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, например, A1A4 и A2A5. Эти диагонали пересекаются в центре O шестиугольника и образуют угол 90 градусов, так как правильный шестиугольник симметричен относительно центра, и радиусы окружности, соединяющие центр с вершинами шестиугольника, образуют равные углы.
в) Доказательство параллельности диагоналей:
Рассмотрим диагонали A1A3 и A2A4. Эти диагонали параллельны, так как правильный шестиугольник симметричен относительно центра. Диагонали, соединяющие вершины, развернутые на один и тот же угол относительно центра, будут параллельны. Например, диагонали, соединяющие вершины, развернутые на 120 градусов относительно центра (например, A1A3 и A2A4), будут параллельны.
Ответ:
а) Каждая диагональ имеет равную ей диагональ.
б) Существуют перпендикулярные диагонали.
в) Существуют параллельные диагонали.