а) Дано:
Прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам. Пусть AB — гипотенуза, AC и BC — катеты.
Найти:
Докажите, что произведение катетов AC и BC равно произведению гипотенузы AB и высоты CH, проведённой к гипотенузе AB.
Решение:
1. Обозначим:
- h — высота CH,
- a — длину катета AC,
- b — длину катета BC,
- c — длину гипотенузы AB.
2. Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:
- через катеты: S = (1/2) * a * b,
- через гипотенузу и высоту: S = (1/2) * c * h.
3. Приравняем оба выражения для площади:
(1/2) * a * b = (1/2) * c * h.
4. Упростим уравнение:
a * b = c * h.
Таким образом, мы доказали, что произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, проведённой к ней.
б) Найти:
Каждую из величин в полученной формуле выразите через остальные.
Решение:
Из полученного уравнения a * b = c * h, мы можем выразить каждую переменную через другие:
1. Высота h:
h = (a * b) / c.
2. Гипотенуза c:
c = (a * b) / h.
3. Катет a:
a = (c * h) / b.
4. Катет b:
b = (c * h) / a.
в) Запишите формулу из пункта «а» в виде пропорции.
Ответ:
a * b / c = h.