а) Дано: катеты прямоугольного треугольника равны x.
Найти: площадь треугольника.
Решение: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Формула: Площадь = (1/2) * x * x = (1/2) * x^2.
Ответ: Площадь = (1/2) * x^2.
б) Дано: гипотенуза прямоугольного треугольника равна x, один из острых углов равен 30°.
Найти: площадь треугольника.
Решение: Для прямоугольного треугольника с углом 30°, один из катетов равен (1/2) * гипотенуза, а другой катет равен (√3/2) * гипотенуза.
Катет1 = (1/2) * x, Катет2 = (√3/2) * x.
Площадь = (1/2) * Катет1 * Катет2 = (1/2) * (1/2) * x * (√3/2) * x = (√3/8) * x^2.
Ответ: Площадь = (√3/8) * x^2.
в) Дано: один из катетов равен x, он на единицу меньше гипотенузы.
Найти: площадь треугольника.
Решение: Обозначим гипотенузу как (x + 1).
Используем теорему Пифагора: x^2 + y^2 = (x + 1)^2.
Раскрываем скобки: x^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1, отсюда y^2 = 2x + 1.
Катет2 = √(2x + 1).
Площадь = (1/2) * x * √(2x + 1).
Ответ: Площадь = (1/2) * x * √(2x + 1).
г) Дано: один из катетов равен x, другой катет в 3 раза меньше гипотенузы.
Найти: площадь треугольника.
Решение: Обозначим гипотенузу как H. Другой катет будет равен x / 3.
Используем теорему Пифагора: x^2 + (x / 3)^2 = H^2.
H^2 = x^2 + x^2 / 9 = (10/9) * x^2, отсюда H = √((10/9) * x^2) = (√10 / 3) * x.
Площадь = (1/2) * x * (x / 3) = (1/6) * x^2.
Ответ: Площадь = (1/6) * x^2.