Докажем, что среди всех равнобедренных треугольников с заданной боковой стороной наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник.
Дано:
Равнобедренный треугольник с боковой стороной a.
Найти:
Максимальную площадь этого треугольника.
Решение:
1. Обозначим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = a, а угол BAC = 2θ.
2. Найдем площадь треугольника через угол θ. Площадь треугольника можно найти как 1/2 * основание * высота. В данном случае основание BC = 2 * a * sin(θ), а высота h = a * sin(θ).
Площадь треугольника P = 1/2 * BC * h
= 1/2 * (2 * a * sin(θ)) * (a * sin(θ))
= a^2 * sin^2(θ)
3. Теперь нужно максимизировать функцию P = a^2 * sin^2(θ). Поскольку a^2 является константой, максимизировать нужно sin^2(θ).
Функция sin^2(θ) достигает своего максимума, когда sin(θ) = 1, то есть когда θ = 90 градусов. В этом случае угол BAC = 180 градусов - 2θ = 180 - 90 - 90 = 0 градусов. Это означает, что треугольник ABC становится прямоугольным.
При θ = 90 градусов, угол BAC = 90 градусов. В таком случае треугольник ABC является прямоугольным, где угол A = 90 градусов, и боковые стороны AB и AC равны a.
4. Проверим площадь прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике площадь равна 1/2 * a * a = 1/2 * a^2.
Таким образом, наибольшая площадь равнобедренного треугольника с заданной боковой стороной a достигается, когда треугольник является прямоугольным.
Ответ:
Наибольшую площадь среди всех равнобедренных треугольников с данной боковой стороной имеет прямоугольный треугольник.