Дано:
Параллелограмм ABCD, где AB и CD - противоположные стороны, а M и N - середины сторон AB и CD соответственно.
Найти:
Доказать, что средняя линия MN параллельна стороне AB и равна ей.
Решение:
1. Поскольку M и N являются серединами отрезков AB и CD, то выполнены следующие равенства:
AM = MB и CN = ND.
2. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD.
3. Рассмотрим векторы. Обозначим вектор AB как v1 и вектор CD как v2.
Поскольку AB и CD параллельны, можно записать, что v1 = v2.
4. Теперь найдем координаты точек M и N. Если A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4), то:
M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
N = ((x3 + x4)/2, (y3 + y4)/2)
5. Проверим вектор MN:
MN = N - M = ((x3 + x4)/2 - (x1 + x2)/2, (y3 + y4)/2 - (y1 + y2)/2)
MN = ((x3 + x4 - x1 - x2)/2, (y3 + y4 - y1 - y2)/2)
6. Известно, что AB || CD, следовательно, углы между этими сторонами равны, а это означает, что MN также будет параллелен AB, поскольку средняя линия соединяет середины двух параллельных отрезков.
7. Теперь необходимо показать, что длина MN равна длине AB. Поскольку M и N - середины отрезков, можем записать:
MN = 1/2 * AB.
Таким образом, мы показали, что MN является средней линией и одновременно равна AB.
Ответ:
Средняя линия MN параллелограмма ABCD параллельна стороне AB и равна ей, так как соединяет середины двух параллельных сторон и по свойству равенства отрезков.