а) ∠А = 120°, ∠В = 30°
Дано:
- ∠А = 120°
- ∠В = 30°
- ∠С = 180° - ∠А - ∠В = 180° - 120° - 30° = 30°
Найти:
- Отношения сторон b : a и c : a
Решение:
По закону синусов для треугольника ABC:
a / sin(∠А) = b / sin(∠В) = c / sin(∠С)
Подставляем известные углы:
a / sin(120°) = b / sin(30°) = c / sin(30°)
Так как sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3 / 2 и sin(30°) = 1 / 2, получаем:
a / (√3 / 2) = b / (1 / 2) => a / (√3 / 2) = b / (1 / 2) => b = a * (1 / √3)
Также c / (1 / 2) = a / (√3 / 2) => c = a * (1 / √3)
Итак, отношения:
b : a = 1 / √3
c : a = 1 / √3
б) ∠А = 90°, ∠В = 30°
Дано:
- ∠А = 90°
- ∠В = 30°
- ∠С = 180° - ∠А - ∠В = 180° - 90° - 30° = 60°
Найти:
- Отношения сторон b : a и c : a
Решение:
По закону синусов для треугольника ABC:
a / sin(∠А) = b / sin(∠В) = c / sin(∠С)
Подставляем известные углы:
a / sin(90°) = b / sin(30°) = c / sin(60°)
Так как sin(90°) = 1, sin(30°) = 1 / 2 и sin(60°) = √3 / 2, получаем:
a / 1 = b / (1 / 2) => b = a * (1 / 2)
c / (√3 / 2) = a / 1 => c = a * (√3 / 2)
Итак, отношения:
b : a = 1 / 2
c : a = √3 / 2
в) ∠А = 178°, АВ = 1
Дано:
- ∠А = 178°
- ∠В = 1° (это значение маленькое, и мы предполагаем, что ∠С близко к 1°, тогда ∠С ≈ 180° - 178° - 1° = 1°)
Найти:
- Отношения сторон b : a и c : a
Решение:
Если углы ∠В и ∠С равны и близки к нулю, то стороны b и c близки к длине стороны a, и можно использовать приближенное соотношение:
a / sin(∠А) ≈ b / sin(1°) ≈ c / sin(1°)
Так как sin(178°) ≈ sin(2°) ≈ 2° * π / 180 = 0.0349
b / 0.0349 ≈ a / 1 => b ≈ a * 0.0349
c / 0.0349 ≈ a / 1 => c ≈ a * 0.0349
Итак, отношения:
b : a ≈ 0.0349
c : a ≈ 0.0349