Дано:
Треугольник ABC с биссектрисой угла A, пересекающей сторону BC в точке D. Пусть AD — биссектрисa угла A, AB = c, AC = b, а BD и DC — отрезки, на которые делит сторону BC точка D.
Найти:
Доказать, что BD / DC = AB / AC или BD / DC = c / b.
Решение:
Согласно теореме синусов для треугольников ABD и ACD:
1. Для треугольника ABD:
sin(B) / AB = sin(A) / AD
c / sin(B) = AD / sin(A)
2. Для треугольника ACD:
sin(C) / AC = sin(A) / AD
b / sin(C) = AD / sin(A)
Теперь выразим AD из обеих равенств:
AD = c * sin(A) / sin(B)
AD = b * sin(A) / sin(C)
Приравняем эти два выражения для AD:
c * sin(A) / sin(B) = b * sin(A) / sin(C)
Упростим уравнение, сократив sin(A):
c / sin(B) = b / sin(C)
Теперь выразим отношение BD и DC через синусы углов B и C:
BD / DC = (AB * sin(C)) / (AC * sin(B))
Подставим наши обозначения:
BD / DC = (c * sin(C)) / (b * sin(B))
При этом угол A остается неизменным, и мы можем утверждать:
BD / DC = c / b.
Таким образом, с помощью теоремы синусов мы доказали, что биссектрисa угла A делит противолежащую сторону BC на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Ответ:
BD / DC = AB / AC, что и требовалось доказать.