Дано:
- ∠A = 20°
- ∠B = 150°
- Скорость на шоссе (AB) в 2 раза больше, чем на просёлочных дорогах (AC и BC).
Найти:
- Какой путь выбрать автомобилю для достижения пункта C из пункта A, чтобы минимизировать время в пути.
Решение:
1. Найдите угол C в треугольнике ABC:
Углы треугольника в сумме равны 180°.
∠C = 180° - ∠A - ∠B
∠C = 180° - 20° - 150°
∠C = 10°
2. Время в пути зависит от расстояния и скорости. Скорость на шоссе в 2 раза больше, чем на просёлке. Обозначим скорость на просёлке через v, тогда скорость на шоссе = 2v.
3. Рассчитайте расстояния по треугольнику ABC с использованием закона синусов:
AB / sin(C) = AC / sin(B) = BC / sin(A)
Пусть AB = c, AC = b, BC = a. Из закона синусов:
a / sin(20°) = b / sin(150°) = c / sin(10°)
Поскольку sin(150°) = sin(30°) = 0.5:
a / sin(20°) = b / 0.5 = c / sin(10°)
Расстояния в треугольнике можно выразить через угол и другую сторону, но для упрощения расчета, мы используем соотношение времени.
4. Время в пути по маршруту A → C → B:
Время = (AC / v) + (CB / v) = (b / v) + (a / v) = (b + a) / v
5. Время в пути по маршруту A → B → C:
Время = (AB / 2v) + (BC / v) = (c / 2v) + (a / v) = (c / 2 + a) / v
6. Сравните два времени, чтобы найти, какой путь быстрее.
Для этого сравните выражения:
Время A → C → B = (b + a) / v
Время A → B → C = (c / 2 + a) / v
Мы видим, что A → C → B быстрее, если (b + a) < (c / 2 + a).
7. Поскольку c / 2 добавляется только в одном случае и учитывается уже на просёлке, наиболее рационально использовать маршрут A → B → C, если путь AB значительно короче по сравнению с участком AC.
Ответ:
Автомобилисту следует выбрать путь через шоссе, то есть маршрут A → B → C, чтобы сократить время в пути.