а) Дано:
- Проекции катетов на гипотенузу равны 3 и 1.
Найти:
- Косинусы острых углов.
Решение:
Обозначим гипотенузу треугольника как c, катеты как a и b. Проекции катетов на гипотенузу равны 3 и 1, соответственно, это означает, что
cosA = 3 / c
cosB = 1 / c
Так как в прямоугольном треугольнике сумма квадратов проекций катетов на гипотенузу равна квадрату гипотенузы,
3^2 + 1^2 = c^2
9 + 1 = c^2
c^2 = 10
c = √10
Теперь найдем косинусы углов:
cosA = 3 / √10 ≈ 0.9487
cosB = 1 / √10 ≈ 0.3162
Градусные меры углов:
cosA ≈ 0.9487 → A ≈ 18.43°
cosB ≈ 0.3162 → B ≈ 71.57°
б) Дано:
- Высота равна 1.
- Проекция одного из катетов на гипотенузу равна 2.
Найти:
- Косинусы острых углов.
Решение:
Пусть проекция катета a на гипотенузу равна 2. Обозначим гипотенузу как c. Площадь треугольника также можно найти как 0.5 * a * h, где h – высота, которая равна 1.
Площадь треугольника = 0.5 * 2 * 1 = 1
Также площадь равна 0.5 * a * b * sinC. Так как sinC = 1, a = 2, b = √(c^2 - a^2). Используем высоту для вычисления площади:
Площадь = 0.5 * a * h
1 = 0.5 * 2 * 1
1 = 1
Таким образом, стороны треугольника и его гипотенуза можно найти через уравнения:
sinA = h / a
sinA = 1 / 2
cosA = √(1 - sinA^2) = √(1 - 0.25) = √0.75 = √3 / 2
Таким образом, углы:
A = sin^(-1)(0.5) ≈ 30°
B = 60°
в) Дано:
- Один из катетов равен 2.
- Его проекция на гипотенузу равна 1.
Найти:
- Косинусы острых углов.
Решение:
Обозначим катет a = 2, проекцию на гипотенузу как 1, гипотенузу как c. Косинус угла между катетом и гипотенузой равен проекции катета на гипотенузу, деленной на гипотенузу:
cosA = 1 / c
Так как в прямоугольном треугольнике,
a^2 = c^2 - (проекция)^2
2^2 = c^2 - 1^2
4 = c^2 - 1
c^2 = 5
c = √5
Теперь вычисляем косинусы углов:
cosA = 1 / √5 ≈ 0.4472
cosB = √(1 - cosA^2) = √(1 - 0.2) = √0.8 ≈ 0.8944
Градусные меры углов:
A = cos^(-1)(0.4472) ≈ 63.43°
B = cos^(-1)(0.8944) ≈ 26.57°
Ответ:
а) cosA ≈ 0.9487, cosB ≈ 0.3162. Углы: A ≈ 18.43°, B ≈ 71.57°.
б) cosA = √3 / 2, углы: A = 30°, B = 60°.
в) cosA ≈ 0.4472, cosB ≈ 0.8944. Углы: A ≈ 63.43°, B ≈ 26.57°.