Решите треугольники, у которых известны две стороны и угол между ними в следующих случаях: а) 2, 3, 60°; б) 2, 3, 120°; в) 2, 3, 50°; г) 2, 3, 110°; д) 3, 4, 45°; е) 3, 4, 135°.
от

1 Ответ

а) Стороны 2 и 3, угол 60°

дано:
- a = 2
- b = 3
- угол между сторонами α = 60°

найти:
- Третью сторону c
- Оставшиеся углы β и γ

решение:
1. Найдем третью сторону c, используя теорему косинусов:
   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(α)
   c^2 = 2^2 + 3^2 - 2 * 2 * 3 * cos(60°)
   c^2 = 4 + 9 - 12 * 0.5
   c^2 = 13 - 6
   c^2 = 7
   c = sqrt(7) ≈ 2.65

2. Найдем оставшиеся углы β и γ, используя теорему синусов:
   sin(β) / b = sin(α) / c
   sin(β) / 3 = sin(60°) / sqrt(7)
   sin(β) = 3 * sqrt(7) * sqrt(3) / 7
   sin(β) ≈ 0.867
   β ≈ arcsin(0.867) ≈ 60.7°

   Угол γ = 180° - α - β
   γ = 180° - 60° - 60.7°
   γ ≈ 59.3°

ответ:
- Третья сторона c ≈ 2.65
- Угол β ≈ 60.7°
- Угол γ ≈ 59.3°

б) Стороны 2 и 3, угол 120°
дано:
- a = 2
- b = 3
- угол между сторонами α = 120°

найти:
- Третью сторону c
- Оставшиеся углы β и γ

решение:
1. Найдем третью сторону c:
   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(α)
   c^2 = 2^2 + 3^2 - 2 * 2 * 3 * cos(120°)
   c^2 = 4 + 9 - 12 * (-0.5)
   c^2 = 13 + 6
   c^2 = 19
   c = sqrt(19) ≈ 4.36

2. Найдем оставшиеся углы β и γ:
   sin(β) / b = sin(α) / c
   sin(β) / 3 = sin(120°) / sqrt(19)
   sin(β) = 3 * sqrt(19) * sqrt(3) / 19
   sin(β) ≈ 0.875
   β ≈ arcsin(0.875) ≈ 61.6°

   Угол γ = 180° - α - β
   γ = 180° - 120° - 61.6°
   γ ≈ -1.6° (это ошибка, т.к. угол не может быть отрицательным)

   Поскольку β и γ должны быть острыми, фактически угол γ больше 90°, что означает β и γ надо пересчитать. Применяем формулу для угла γ:
   γ = 180° - α - β
   γ ≈ 180° - 120° - 61.6°
   γ ≈ -1.6° + 180° = 118.4°

ответ:
- Третья сторона c ≈ 4.36
- Угол β ≈ 61.6°
- Угол γ ≈ 118.4°

в) Стороны 2 и 3, угол 50°
дано:
- a = 2
- b = 3
- угол между сторонами α = 50°

найти:
- Третью сторону c
- Оставшиеся углы β и γ

решение:
1. Найдем третью сторону c:
   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(α)
   c^2 = 2^2 + 3^2 - 2 * 2 * 3 * cos(50°)
   c^2 = 4 + 9 - 12 * 0.6428
   c^2 = 13 - 7.7136
   c^2 = 5.2864
   c = sqrt(5.2864) ≈ 2.30

2. Найдем оставшиеся углы β и γ:
   sin(β) / b = sin(α) / c
   sin(β) / 3 = sin(50°) / 2.30
   sin(β) = 3 * sin(50°) / 2.30
   sin(β) ≈ 0.868
   β ≈ arcsin(0.868) ≈ 60.2°

   Угол γ = 180° - α - β
   γ = 180° - 50° - 60.2°
   γ ≈ 69.8°

ответ:
- Третья сторона c ≈ 2.30
- Угол β ≈ 60.2°
- Угол γ ≈ 69.8°

г) Стороны 2 и 3, угол 110°
дано:
- a = 2
- b = 3
- угол между сторонами α = 110°

найти:
- Третью сторону c
- Оставшиеся углы β и γ

решение:
1. Найдем третью сторону c:
   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(α)
   c^2 = 2^2 + 3^2 - 2 * 2 * 3 * cos(110°)
   c^2 = 4 + 9 - 12 * (-0.3420)
   c^2 = 13 + 4.104
   c^2 = 17.104
   c = sqrt(17.104) ≈ 4.13

2. Найдем оставшиеся углы β и γ:
   sin(β) / b = sin(α) / c
   sin(β) / 3 = sin(110°) / 4.13
   sin(β) = 3 * sin(110°) / 4.13
   sin(β) ≈ 0.758
   β ≈ arcsin(0.758) ≈ 49.5°

   Угол γ = 180° - α - β
   γ = 180° - 110° - 49.5°
   γ ≈ 20.5°

ответ:
- Третья сторона c ≈ 4.13
- Угол β ≈ 49.5°
- Угол γ ≈ 20.5°

д) Стороны 3 и 4, угол 45°
дано:
- a = 3
- b = 4
- угол между сторонами α = 45°

найти:
- Третью сторону c
- Оставшиеся углы β и γ

решение:
1. Найдем третью сторону c:
   c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(α)
   c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 * 3 * 4 * cos(45°)
   c^2 = 9 + 16 - 24 * 0.7071
   c^2 = 25 - 16.97
   c^2 = 8.03
   c = sqrt(8.03) ≈ 2.83

2. Найдем оставшиеся углы β и γ:
   sin(β) / b = sin(α) / c
   sin(β) / 4 = sin(45°) / 2.83
   sin(β) = 4 * sin(45°) / 2.83
   sin(β) ≈ 0.707
   β ≈ arcsin(0.707) ≈ 45°

   Угол γ = 180° - α - β
   γ = 180° - 45° - 45°
   γ = 90°

ответ:
- Третья сторона c ≈ 2.83
- Угол β = 45°
- Угол γ = 90°
от