Дано: треугольник ABC. Пусть средняя линия AD, параллельная стороне BC, делит треугольник на две части.
Найти: доказать, что средняя линия AD треугольника ABC, параллельная стороне BC, делит пополам любую хорду, идущую из вершины A.
Решение:
1. Рассмотрим произвольную хорду AE, идущую из вершины A и пересекающую сторону BC в точке E.
2. Пусть D — середина стороны BC, и линия AD — средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне BC.
3. Средняя линия AD делит треугольник ABC на два меньших треугольника: ABD и ACD.
4. По свойству средней линии треугольника, линия AD параллельна стороне BC и равна половине длины BC.
5. Так как AD || BC, треугольники ABD и ACD подобны треугольникам ABC и AEB соответственно. В частности, треугольник ABD подобен треугольнику ABE.
6. Поскольку AD параллельна BC, линия AD делит треугольник ABE на две части, и AD будет равна половине от AE по свойству подобия треугольников.
7. Таким образом, отрезок, соединяющий точку A с серединой хорды BE, будет делить эту хорду пополам.
Ответ: средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне BC, делит пополам любую хорду треугольника, идущую из вершины A.