Дано: произвольный четырёхугольник ABCD. Пусть E, F, G и H — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.
Найти: доказать, что четырёхугольник EFGH является параллелограммом.
Решение:
1. Соединяем середины сторон ABCD, и получаем четырёхугольник EFGH.
2. В треугольнике ABC соединяем середины AB и BC точками E и F. Отрезок EF будет параллелен и равен половине стороны AC (по свойству средней линии треугольника).
3. Аналогично, отрезок FG в треугольнике BCD параллелен и равен половине стороны BD.
4. Теперь рассматриваем треугольник ACD. Здесь середины AC и CD соединяются точками H и G соответственно. Отрезок HG будет параллелен и равен половине стороны AD.
5. Аналогично, отрезок EH в треугольнике ABD параллелен и равен половине стороны AB.
6. Так как противоположные стороны EFGH равны и параллельны, четырёхугольник EFGH является параллелограммом.
Почему это верно для замкнутой пространственной ломаной ABCD:
1. Доказательство аналогично, поскольку свойства средней линии и параллелограммов сохраняются в пространственных фигурах.
2. Если ABCD — это пространственная ломаная, то её проекции на плоскость сохранят свойства средней линии, и соединённые середины сторон будут образовывать параллелограмм в проекции.
Ответ: четырёхугольник, соединяющий середины сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом. Это верно и для замкнутой пространственной ломаной ABCD.