Дано: трапеция ABCD с основаниями AB и CD (AB > CD). Пусть M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Также пусть P — точка пересечения средней линии MN и хорды, соединяющей середины оснований.
Найти: показать, что точка P делит обе линии MN и хорду пополам.
Решение:
1. В трапеции ABCD средняя линия MN соединяет середины оснований AB и CD. Средняя линия MN параллельна основаниям и её длина равна полусумме длин оснований: MN = (AB + CD) / 2.
2. Точка P пересекает среднюю линию MN и хорду, соединяющую середины оснований, в точке, которая делит обе линии пополам.
3. Для этого проведём диагонали AC и BD, которые пересекутся в точке O. Поскольку M и N — середины оснований, MN и хордой, соединяющей середины оснований, являются параллельными прямыми и пересекаются в точке, делящейся пополам.
4. По свойству трапеции, средняя линия MN и хорда, соединяющая середины оснований, делят точки пополам на одной прямой, так как они соединены с серединами оснований и параллельны.
5. В трапеции, поскольку M и N — середины сторон и MN параллельна основаниям, отрезок, соединяющий середины оснований, пересечётся в точке, делящейся пополам обе линии MN и хорду.
Ответ: точка пересечения средней линии MN и хорды, соединяющей середины оснований трапеции, делит обе линии пополам.