В прямоугольном треугольнике ABC катет ВС = 1. Выразите катет АС и гипотенузу АВ через различные тригонометрические функции углов A и. В.
от

1 Ответ

Дано:  
- катет BC = 1 (в СИ)  
- углы A и B в прямоугольном треугольнике ABC  

Найти:  
- катет AC  
- гипотенузу AB  

Решение:  

В прямоугольном треугольнике ABC по определению тригонометрических функций можем выразить катеты и гипотенузу через углы A и B.

1. Для угла A:  
   Синус и косинус:
   sin(A) = BC / AB  
   cos(A) = AC / AB  

   Зная, что BC = 1, можем выразить гипотенузу AB:
   sin(A) = 1 / AB  
   отсюда AB = 1 / sin(A)

   Теперь выразим катет AC через гипотенузу:
   cos(A) = AC / AB  
   отсюда AC = AB * cos(A)  
   подставляем AB:
   AC = (1 / sin(A)) * cos(A) = cos(A) / sin(A) = cot(A)

2. Для угла B:  
   Синус и косинус:
   sin(B) = AC / AB  
   cos(B) = BC / AB  

   Выразим гипотенузу AB через катет BC = 1:
   cos(B) = 1 / AB  
   отсюда AB = 1 / cos(B)

   Теперь выразим катет AC:
   sin(B) = AC / AB  
   отсюда AC = AB * sin(B)  
   подставляем AB:
   AC = (1 / cos(B)) * sin(B) = sin(B) / cos(B) = tan(B)

Ответ:  
Катет AC = cot(A) = tan(B)  
Гипотенуза AB = 1 / sin(A) = 1 / cos(B)
от