Дано:
- два прямоугольных треугольника ABC и DEF
- катет AB и гипотенуза AC треугольника ABC пропорциональны катету DE и гипотенузе DF треугольника DEF:
AB / DE = AC / DF = k (коэффициент пропорциональности)
Найти:
- доказать, что треугольники ABC и DEF подобны
Решение:
1. В треугольнике ABC угол C = 90°, а в треугольнике DEF угол F = 90°.
2. По условию имеем:
AB / DE = k и AC / DF = k.
3. Это означает, что:
AB = k * DE
AC = k * DF.
4. Теперь рассмотрим отношения между катетом и гипотенузой в каждом треугольнике.
5. В треугольнике ABC можно выразить косинус угла A:
cos(A) = AB / AC.
6. В треугольнике DEF аналогично:
cos(D) = DE / DF.
7. Подставляем пропорциональности:
cos(A) = (k * DE) / (k * DF) = DE / DF.
8. Таким образом, cos(A) = cos(D), что означает, что углы A и D равны.
9. Аналогично можно рассмотреть угол B:
sin(B) = BC / AC и sin(E) = CF / DF.
10. Также можно показать, что:
sin(B) = (BC / k * DF) = (BC / DF) * (k / k).
11. Таким образом, sin(B) = sin(E), что означает, что углы B и E равны.
12. Итак, мы имеем два прямоугольных треугольника с равными углами:
угол A = угол D,
угол B = угол E,
угол C = угол F (90°).
13. По критерию подобия треугольников по углам, треугольники ABC и DEF подобны.
Ответ:
Два прямоугольных треугольника, у которых катет и гипотенуза одного пропорциональны катету и гипотенузе другого, подобны по угловому критерию.