Дано: два треугольника, ABC и A'B'C', такие что стороны треугольника A'B'C' являются средними линиями треугольника ABC.
Найти: показать, что центр масс треугольника A'B'C' совпадает с центром масс треугольника ABC.
Решение:
1. Обозначим точки пересечения средних линий в треугольнике ABC как D, E и F, где D - середина стороны BC, E - середина стороны CA, и F - середина стороны AB. По определению, треугольник DEF является срединным треугольником и равен половине площади треугольника ABC.
2. В треугольнике DEF, точки D, E и F, по построению, являются серединными точками сторон треугольника ABC. Следовательно, стороны треугольника DEF параллельны и равны половинам сторон треугольника ABC. Это означает, что треугольник DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1/2.
3. Центр масс треугольника DEF совпадает с центром масс треугольника ABC. Это происходит потому, что любой треугольник делится своими медианами на шесть треугольников равной площади, и центр масс (гравитационный центр) треугольника будет совпадать с центром масс треугольника, образованного медианами.
4. Теперь, если медианы треугольника DEF совпадают с медианами треугольника ABC, то центры масс этих треугольников тоже будут совпадать. Поскольку треугольник DEF - это срединный треугольник, его центр масс будет совпадать с центром масс треугольника ABC.
5. Таким образом, мы можем утверждать, что центр масс треугольника DEF совпадает с центром масс треугольника ABC.
Ответ: Центр масс первого треугольника (ABC) совпадает с центром масс второго треугольника (DEF).