Дано: стороны треугольника a = 4, b = 5, c = 6.
Найти: наибольшую медиану, наименьшую высоту и среднюю биссектрису.
Решение:
1. Наибольшая медиана:
Медианы треугольника можно найти по формуле:
m_a = 0.5 * sqrt(2 * b^2 + 2 * c^2 - a^2)
m_b = 0.5 * sqrt(2 * a^2 + 2 * c^2 - b^2)
m_c = 0.5 * sqrt(2 * a^2 + 2 * b^2 - c^2)
Находим:
m_a = 0.5 * sqrt(2 * 5^2 + 2 * 6^2 - 4^2)
= 0.5 * sqrt(2 * 25 + 2 * 36 - 16)
= 0.5 * sqrt(50 + 72 - 16)
= 0.5 * sqrt(106)
= 0.5 * 10.30
= 5.15
m_b = 0.5 * sqrt(2 * 4^2 + 2 * 6^2 - 5^2)
= 0.5 * sqrt(2 * 16 + 2 * 36 - 25)
= 0.5 * sqrt(32 + 72 - 25)
= 0.5 * sqrt(79)
= 0.5 * 8.89
= 4.45
m_c = 0.5 * sqrt(2 * 4^2 + 2 * 5^2 - 6^2)
= 0.5 * sqrt(2 * 16 + 2 * 25 - 36)
= 0.5 * sqrt(32 + 50 - 36)
= 0.5 * sqrt(46)
= 0.5 * 6.78
= 3.39
Наибольшая медиана: m_a = 5.15.
2. Наименьшая высота:
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
s = (a + b + c) / 2 = (4 + 5 + 6) / 2 = 7.5
Площадь = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
= sqrt(7.5 * (7.5 - 4) * (7.5 - 5) * (7.5 - 6))
= sqrt(7.5 * 3.5 * 2.5 * 1.5)
= sqrt(131.25)
= 11.44
Высоты:
h_a = 2 * Площадь / a = 2 * 11.44 / 4 = 5.72
h_b = 2 * Площадь / b = 2 * 11.44 / 5 = 4.58
h_c = 2 * Площадь / c = 2 * 11.44 / 6 = 3.81
Наименьшая высота: h_c = 3.81.
3. Средняя биссектрису:
Биссектрисы можно найти по формуле:
t_a = sqrt(b * c * (s - a) / (s + a))
t_b = sqrt(a * c * (s - b) / (s + b))
t_c = sqrt(a * b * (s - c) / (s + c))
Находим:
t_a = sqrt(5 * 6 * (7.5 - 4) / (7.5 + 4))
= sqrt(30 * 3.5 / 11.5)
= sqrt(105 / 11.5)
= sqrt(9.13)
= 3.02
t_b = sqrt(4 * 6 * (7.5 - 5) / (7.5 + 5))
= sqrt(24 * 2.5 / 12.5)
= sqrt(60 / 12.5)
= sqrt(4.8)
= 2.19
t_c = sqrt(4 * 5 * (7.5 - 6) / (7.5 + 6))
= sqrt(20 * 1.5 / 13.5)
= sqrt(30 / 13.5)
= sqrt(2.22)
= 1.49
Средняя биссектрису: t_a = 3.02.
Ответ:
- Наибольшая медиана: 5.15
- Наименьшая высота: 3.81
- Средняя биссектрису: 3.02