Дано: отрезок AB с концами в точках A и B. Пусть x — переменная прямая, проходящая через внутреннюю точку отрезка AB. Найти: доказать, что отношение расстояний от точек A и B до прямой x остаётся постоянным.
Решение:
1. Пусть прямая x пересекает отрезок AB в точке P, где P — внутренняя точка отрезка AB.
2. Обозначим расстояния от точки A до прямой x как d_A и от точки B до прямой x как d_B.
3. Чтобы доказать, что отношение d_A / d_B остаётся постоянным, рассмотрим проекции отрезков на прямую x.
4. Проведём перпендикуляры из точек A и B к прямой x. Пусть эти перпендикуляры встречают прямую x в точках A' и B' соответственно. Прямые A'P и B'P будут параллельны и равны.
5. Поскольку расстояния A'P и B'P постоянны (так как прямая x фиксирована для данной точки P), отношение A'P / B'P будет постоянным.
6. Следовательно, отношение расстояний от A и B до прямой x также будет постоянным. Это вытекает из постоянства отношений перпендикуляров.
Ответ: Отношение расстояний от точек A и B до переменной прямой x остаётся постоянным.