Дано: отрезок AB и точка O, не лежащая на прямой AB. На отрезке AB выбрана точка X, и на луче OX строится точка Y такая, что OY = 2 * OX.
Найти: по какой линии будет двигаться точка Y, когда точка X пробегает весь отрезок AB.
Решение:
1. Установим координаты:
- Пусть A имеет координаты (0, 0), а B имеет координаты (a, 0).
- Точка O имеет координаты (h, k).
- Пусть точка X имеет координаты (x, 0), где x меняется от 0 до a.
2. Найдём координаты точки Y:
- Вектор OX равен (x - h, -k).
- Длина вектора OX равна sqrt((x - h)^2 + k^2).
- Вектор OY равен 2 * OX, поэтому:
- Вектор OY = 2 * (x - h, -k) = (2 * (x - h), -2k).
- Координаты точки Y будут равны:
- (h + 2 * (x - h), k - 2 * k) = (2x - h + h, -k) = (2x - h, -k).
3. Уравнение линии, по которой движется точка Y:
- Пусть координаты точки Y равны (X, -k).
- X = 2x - h.
Поэтому координаты точки Y описываются уравнением:
- X = 2x - h.
4. Найдём уравнение прямой в общем виде:
- Подставляем x = (X + h) / 2 в уравнение X = 2x - h, что будет:
- y = -k (постоянная координата по вертикали).
Таким образом, по мере изменения x, точка Y перемещается по прямой с уравнением:
- y = -k (горизонтальная линия на расстоянии -k от оси X) и X = 2x - h.
Ответ: точка Y будет двигаться по прямой линии, параллельной отрезку AB и расположенной на расстоянии -k от горизонтальной линии, проходящей через точку O.