Для ответа на этот вопрос воспользуемся формулой Эйлера:
V - E + F = 2,
где V - количество вершин (точек), E - количество ребер (отрезков), F - количество граней (областей, образованных отрезками).
В данном случае, V = 10, так как на плоскости имеется 10 точек.
а) Если прямая пересекает 21 отрезок, то E = 21. Пусть F - количество областей, образованных отрезками. Тогда, подставляя значения в формулу Эйлера, получим:
10 - 21 + F = 2
F = 13
Таким образом, на плоскости имеется 13 областей, образованных отрезками. Но если прямая не проходит через ни одну из точек, то она может пересечь только один отрезок в точке его середины, что приведет к разбиению одной области на две. Таким образом, общее количество областей увеличится на 1, то есть F = 14.
Но в таком случае, значение выражения V - E + F будет равно 3, что не соответствует формуле Эйлера. Следовательно, прямая не может пересечь ровно 21 отрезок, если не проходит через ни одну из точек.
б) Если прямая пересекает 20 отрезков, то E = 20. Подставляя значения в формулу Эйлера, получим:
10 - 20 + F = 2
F = 12
Аналогично предыдущему пункту, если прямая не проходит через ни одну из точек, то она может пересечь только один отрезок в точке его середины, что приведет к разбиению одной области на две. Таким образом, общее количество областей увеличится на 1, то есть F = 13.
Подставляем полученные значения в формулу Эйлера:
10 - 20 + 13 = 3
Значение выражения V - E + F снова равно 3, что соответствует формуле Эйлера. Следовательно, прямая может пересечь ровно 20 отрезков, если не проходит через ни одну из точек.