Дано:
1. У нас есть квадратный участок земли.
2. Трое братьев построили свои дома и калитки на этом участке.
3. Каждый дом обозначен одной цифрой (1, 2, 3), и калитка каждого брата тоже обозначена цифрой.
Найти:
а) Смогут ли братья проложить дорожки от своих калиток к домам так, чтобы дорожки не пересекались?
б) Изменится ли ответ, если бы дом, построенный вплотную к забору, принадлежал не третьему, а второму брату?
Решение:
а) Смогут ли братья проложить дорожки так, чтобы они не пересекались?
1. Рассмотрим случай, когда один из домов построен вплотную к забору. Пусть это дом 1. Два других дома находятся на некотором расстоянии от забора.
2. Поскольку забор представляет собой границу квадрата, и все дома расположены внутри или у границы квадрата, мы можем использовать теорему о четырех точках в плоскости. Согласно этой теореме, если мы хотим провести непересекающиеся пути от трех точек (калиток) к другим трем точкам (домам) на плоскости, это возможно при условии, что все эти точки находятся в общем положении, позволяющем провести такие пути.
3. Если один дом построен вплотную к забору, его можно рассматривать как фиксированную точку, а две другие точки расположены на некотором расстоянии. В таком случае, существуют пути от калиток к домам, которые не пересекутся. Например, можно использовать алгоритмы планирования путей для доказательства существования таких путей.
Таким образом, в общем случае, когда один дом расположен вплотную к забору, братья смогут проложить непересекающиеся дорожки.
б) Изменится ли ответ, если бы дом, построенный вплотную к забору, принадлежал не третьему брату, а второму брату?
1. В этом случае рассуждения остаются аналогичными. Мы снова имеем три точки (калитки) и три других точки (дома) в плоскости. Если хотя бы один дом построен вплотную к забору, мы можем использовать теорему о четырех точках, чтобы утверждать, что всегда можно провести непересекающиеся пути от калиток к домам.
2. Положение дома у забора меняет только конфигурацию, но не нарушает общие условия задачи. Как и в предыдущем случае, при наличии подходящих алгоритмов планирования путей и применения теоремы о четырех точках, дорожки могут быть проведены так, чтобы они не пересекались.
Ответ:
а) Да, братья смогут проложить дорожки так, чтобы они не пересекались, если один из домов построен вплотную к забору.
б) Нет, ответ не изменится. Если дом, построенный вплотную к забору, принадлежит второму брату, дорожки все равно смогут быть проложены так, чтобы не пересекаться.