Дано:
- Прямые пересекаются в точке O.
- На одной прямой взяты точки A и B, на другой — точки C и D, такие что AO = CO и BO = DO.
Найти:
а) Докажите, что AD = BC.
б) Докажите, что треугольники ABC и ADC равны.
Решение:
а) Докажем, что AD = BC.
1. Рассмотрим отрезки AO и CO. Поскольку AO = CO и точки A и C лежат на одной прямой, то отрезки AO и CO равны.
2. Аналогично, BO = DO и точки B и D лежат на другой прямой, то отрезки BO и DO равны.
3. Поскольку AO = CO и BO = DO, отрезки AD и BC составлены из двух равных частей: AD = AO + OD и BC = BO + OC.
4. Подставляя значения, получаем:
AD = AO + OD
BC = BO + OC
5. Поскольку AO = CO и BO = DO, можно записать:
AD = AO + BO
BC = BO + AO
6. Таким образом, AD = BC.
б) Докажем, что треугольники ABC и ADC равны.
1. Рассмотрим треугольники ABC и ADC.
2. В треугольниках ABC и ADC:
- AO = CO (по условию)
- BO = DO (по условию)
- OD = OC (по определению)
3. В треугольниках ABC и ADC:
- AO = CO (показано ранее)
- BO = DO (показано ранее)
- Общий отрезок OD = OC
4. Используя критерий равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), треугольники ABC и ADC равны.
Ответ:
а) AD = BC.
б) Треугольники ABC и ADC равны.