Дано:
- Угловой вершине угла AOB проведены точки A и B на равных расстояниях от его вершины O.
- На биссектрисе угла AOB выбрана точка O.
Найти:
Докажите, что AO = BO.
Решение:
1. Обозначим вершину угла как O. Пусть угол AOB равен 2α. Следовательно, угловая биссектрисса угла AOB делит его на два равных угла по α.
2. Пусть точки A и B расположены на сторонах угла AOB, причем AO = BO.
3. Мы знаем, что точка O лежит на биссектрисе угла AOB. Это означает, что она равномерно делит угол AOB, и поэтому углы ∠AOB и ∠BOA равны.
4. Рассмотрим треугольник AOB, где AO = BO. Поскольку углы AOB и BOA равны (по определению биссектрисы), треугольник AOB является равнобедренным.
5. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а стороны, прилегающие к этим углам, равны.
6. Следовательно, поскольку AO и BO - это стороны равнобедренного треугольника AOB, мы можем утверждать, что AO = BO.
Ответ:
AO = BO.