Дано:
- Отрезки AB и CD имеют общую середину M.
- Отрезки AB и CD не лежат на одной прямой.
Найти:
Докажите, что AC = BD.
Решение:
1. Пусть M – середина отрезков AB и CD. Тогда AM = MB и CM = MD.
2. Рассмотрим треугольники AMC и BMD. В этих треугольниках:
- AM = MB (по определению середины отрезка AB),
- CM = MD (по определению середины отрезка CD),
- M – общая точка (общая середина).
3. Треугольники AMC и BMD являются равнобедренными, так как в каждом из них две стороны равны (AM = MB и CM = MD).
4. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны. Следовательно, углы ∠AMC и ∠BMD равны.
5. Рассмотрим треугольники AMC и BMD:
- AM = MB,
- CM = MD,
- Углы ∠AMC и ∠BMD равны.
6. По теореме о равенстве треугольников (SAS, так как сторона и прилегающие к ней углы равны) треугольники AMC и BMD равны.
7. Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны, а именно AC = BD.
Ответ:
AC = BD.