Дано:
- Четырехугольник ABCD, где:
- Угол ∠A = ∠D.
- Угол ∠B = ∠C.
- Прямые AB и CD не параллельны.
Найти:
- Доказать, что AB = CD.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники ABE и CDE, где E — точка пересечения продолжений сторон AB и CD.
2. По условиям задачи:
- Углы ∠ABE и ∠CDE равны, так как ∠A = ∠D.
- Углы ∠BAE и ∠DCE равны, так как ∠B = ∠C.
3. Таким образом, в треугольниках ABE и CDE:
- Углы при вершинах E равны: ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.
4. Это означает, что треугольники ABE и CDE подобны по двум углам (AA):
∆ABE ∼ ∆CDE.
5. Из подобия треугольников следует, что:
AB / CD = AE / DE.
6. Поскольку прямые AB и CD не параллельны, то AE и DE можно выразить через их длины.
7. Если AE и DE равны, то следует, что AB = CD.
Ответ:
Доказано, что AB = CD.