Дано: Параллелограмм ABCD и параллелограмм A'B'C'D', где вершины A, B, C, D одного параллелограмма лежат на сторонах другого.
Найти: Совпадают ли центры (точки пересечения диагоналей) этих параллелограммов.
Решение:
1. Обозначим центры параллелограммов как O и O'. Центр O параллелограмма ABCD — точка пересечения его диагоналей AC и BD. Центр O' параллелограмма A'B'C'D' — точка пересечения его диагоналей A'C' и B'D'.
2. Параллелограммы A'B'C'D' и ABCD имеют одну и ту же схему размещения вершин, то есть:
- A' лежит на стороне BC
- B' лежит на стороне CD
- C' лежит на стороне DA
- D' лежит на стороне AB
3. Параллелограмм A'B'C'D' можно рассматривать как преобразование параллелограмма ABCD, где стороны A'B', B'C', C'D', D'A' параллельны и равны соответствующим сторонам ABCD.
4. Заметим, что преобразование параллелограмма ABCD в A'B'C'D' может быть выполнено с помощью аффинного преобразования (параллельного переноса и масштабирования). При таком преобразовании центры параллелограммов сохраняются, то есть их позиции относительно углов остаются идентичными.
5. Таким образом, диагонали параллелограмма A'B'C'D' пересекаются в точке, которая является центром этого параллелограмма. Поскольку параллелограммы АВСD и А'В'C'D' имеют одинаковую схему и один параллелограмм является сдвигом (или масштабированием) другого, их центры совпадают.
Ответ: Да, центры параллелограммов совпадают.