Дано:
- Четырехугольник ABCD.
- Диагональ AC разбивает четырехугольник на два треугольника ABC и ACD с равными периметрами.
- Диагональ BD пересекает AC в середине.
Найти:
Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.
Решение:
1. Обозначим длины сторон четырехугольника:
- AB = a
- BC = b
- CD = c
- DA = d
2. Поскольку диагональ AC разбивает четырехугольник на два треугольника с равными периметрами, мы имеем:
Perimeter(ABC) = AB + BC + AC = a + b + AC,
Perimeter(ACD) = AC + CD + DA = AC + c + d.
По условию задачи эти периметры равны, следовательно:
a + b + AC = AC + c + d.
3. Упростим уравнение, убрав AC:
a + b = c + d. (1)
4. Рассмотрим диагональ BD, которая пересекает AC в ее середине. Обозначим точку пересечения как M.
5. Поскольку M - середина AC, то:
AM = MC.
6. В треугольниках ABM и DCM рассматриваем соответствующие стороны:
AB = a,
CD = c,
AM = MC.
7. Для треугольников ABM и DCM по признаку равенства сторон можно записать:
Периметр(ABM) = AB + BM + AM,
Периметр(DCM) = DC + CM + DM.
Отсюда следует:
AB + BM + AM = DC + CM + DM.
8. Однако так как AM = MC, можем переписать:
a + BM + AM = c + AM + DM.
9. Убрали AM:
a + BM = c + DM. (2)
10. Из уравнения (1) заменяем c на a + b - d:
a + BM = (a + b - d) + DM.
11. Упрощаем уравнение:
BM + d = b + DM.
12. Так как BM и DM являются одним и тем же отрезком (длина), то получаем:
BM = DM.
13. Таким образом, AB = CD и AD = BC.
14. Следовательно, стороны противоположные равны, что является характерным для параллелограммов.
Ответ:
Четырехугольник ABCD является параллелограммом.