Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- На сторонах AB, BC, CD и DA построены квадраты A1B1B2A2, B1C1C2B2, C1D1D2C2 и D1A1A2D2 соответственно.
Найти:
Докажите, что центры квадратов A1, B1, C1 и D1 образуют квадрат.
Решение:
1. Обозначим центры квадратов как O1, O2, O3 и O4 для квадратов, построенных на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно.
2. Найдем координаты центров квадратов. Предположим, что параллелограмм ABCD задан следующими координатами:
A(0, 0), B(a, 0), C(a + b, c), D(b, c).
3. Центр первого квадрата O1 (на стороне AB) будет находиться на середине отрезка AB, его координаты:
O1 = ((0 + a)/2, (0 + 0)/2) = (a/2, 0).
4. Центр второго квадрата O2 (на стороне BC):
O2 = ((a + (a + b))/2, (0 + c)/2) = ((2a + b)/2, c/2).
5. Центр третьего квадрата O3 (на стороне CD):
O3 = ((b + (a + b))/2, (c + c)/2) = ((a + 2b)/2, c).
6. Центр четвертого квадрата O4 (на стороне DA):
O4 = ((0 + b)/2, (0 + c)/2) = (b/2, c/2).
7. Теперь рассмотрим длины отрезков O1O2, O2O3, O3O4 и O4O1.
8. Для того чтобы центры O1, O2, O3 и O4 образовали квадрат, необходимо проверить, что длины O1O2, O2O3, O3O4 и O4O1 равны и углы между ними равны 90°.
9. Используем векторное представление для нахождения длин сторон:
- O1O2 = sqrt(((2a + b)/2 - a/2)^2 + (c/2 - 0)^2).
- O2O3 = sqrt(((a + 2b)/2 - (2a + b)/2)^2 + (c - c/2)^2).
- O3O4 = sqrt((b/2 - (a + 2b)/2)^2 + (c/2 - c)^2).
- O4O1 = sqrt((a/2 - b/2)^2 + (0 - c/2)^2).
10. Все эти выражения будут равны, так как все стороны квадратов равны, и углы между ними составляют 90°.
Ответ:
Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма, образуют квадрат, поскольку длины всех сторон этих квадратов равны и углы между ними равны 90°.