Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- На сторонах BC и AD построены равносторонние треугольники BCK и ADE соответственно.
Найти:
- Доказать, что отрезок EK делит диагональ AC пополам.
Решение:
1. Параллелограмм ABCD имеет свойства, что противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC.
2. Построены равносторонние треугольники BCK и ADE. Это значит, что BK = BC и AE = AD, и углы ∠BKC и ∠AED равны 60°.
3. Рассмотрим треугольники BKC и ADE. Так как они равносторонние, их стороны равны:
BK = BC, AE = AD и углы ∠BKC = ∠AED = 60°.
4. Параллелограмм имеет свойства, что диагонали пересекаются и делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD.
5. Треугольники ADE и BCK равны по следующим признакам:
- AD = BC (по свойству параллелограмма).
- AE = BK (по свойству равностороннего треугольника).
- Углы ∠AED и ∠BKC равны по 60°.
6. Поскольку треугольники ADE и BCK равны, их стороны и углы совпадают, что означает, что E и K симметричны относительно середины диагонали AC.
7. Таким образом, отрезок EK делит диагональ AC пополам, так как по свойству равенства треугольников и симметрии, E и K находятся на одинаковом расстоянии от середины AC.
Ответ:
Отрезок EK действительно делит диагональ AC пополам.