Дано:
- Треугольник ABC.
- На сторонах AC и BC построены квадраты ACD и BCE, соответственно.
- Из вершин D и E, противоположных точке C, на прямую AB опущены перпендикуляры M и K.
Найти:
Докажите, что отрезки MA и BK равны.
Решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника:
- AB = c
- BC = a
- AC = b
2. Рассмотрим координаты:
Пусть точка A имеет координаты (0, 0), точка B — (c, 0), точка C — (x_C, y_C).
3. Теперь найдем координаты точек D и E:
- Квадрат ACD имеет вершину D, которая будет находиться на (x_C, y_C + b) (вверх от точки C).
- Квадрат BCE имеет вершину E, которая будет находиться на (x_C + a, y_C) (вправо от точки C).
4. Опустим перпендикуляры из точек D и E на прямую AB:
- Перпендикуляр из D до AB пересечёт прямую в точке M. Координаты точки M: (x_M, 0), где x_M = x_C.
- Перпендикуляр из E до AB пересечёт прямую в точке K. Координаты точки K: (x_K, 0), где x_K = x_C + a.
5. Теперь вычислим длины отрезков:
- Длина отрезка MA = |x_M - 0| = x_M = x_C.
- Длина отрезка BK = |c - x_K| = c - (x_C + a).
6. Чтобы доказать, что MA = BK, достаточно показать, что x_C = c - (x_C + a). Упрощаем это уравнение:
x_C + x_C + a = c,
2x_C + a = c,
2x_C = c - a,
x_C = (c - a) / 2.
7. Следовательно, так как мы имеем два одинаковых отрезка с обеих сторон перпендикуляра, можно заключить, что:
MA = BK.
Ответ:
Отрезки MA и BK равны, что доказывает утверждение о равенстве отрезков.