Дано: четырехугольник ABCD, в котором ∠A и ∠C прямые. Пусть диагональ AC соединяет противоположные углы A и C. На диагональ AC из вершин B и D опущены перпендикуляры BE и DF соответственно. Основания перпендикуляров E и F делят диагональ AC на три отрезка: AE, EF и FC. Докажите, что два из этих отрезков равны.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков следующим образом: AE = x, EF = y и FC = z.
2. Поскольку углы ∠A и ∠C прямые, четырёхугольник ABCD является выпуклым. Рассмотрим треугольники ABE и CDF.
3. В треугольнике ABE и CDF перпендикуляры BE и DF к диагонали AC являются высотами. Поэтому треугольники ABE и CDF имеют общую диагональ AC и равные углы при диагонали.
4. Рассмотрим следующие два треугольника: ABE и CDF. Углы при диагонали AC прямые, и BE и DF перпендикулярны AC, то есть BE и DF - высоты, следовательно, треугольники ABE и CDF подобны.
5. Поскольку треугольники подобны, отношение длин соответствующих отрезков на диагонали AC будет одинаковым. То есть, если мы обозначим длины отрезков AE и FC, то по подобию отрезков EF тоже должно быть равно сумме AE и FC.
6. Поскольку треугольники ABE и CDF подобны, то треугольники BAE и FDC равны и отрезки AE и FC равны. Поскольку диагональ делится на три отрезка, которые соответствуют двум равным отрезкам (AE и FC) и промежуточному отрезку (EF), из этого следует, что два отрезка равны.
Ответ: Два отрезка из трёх равны, а именно AE и FC.