Дано:
- Четырёхугольник ABCD.
- M и N – середины противоположных сторон AB и CD соответственно.
- P и Q – середины диагоналей AC и BD соответственно.
Найти:
- Доказать, что точки M, N, P и Q образуют параллелограмм или лежат на одной прямой.
Решение:
1. Рассмотрим векторные координаты точек. Обозначим векторные координаты точек следующим образом:
- A = a
- B = b
- C = c
- D = d
2. Найдём координаты середины противоположных сторон и диагоналей:
- M = (a + b) / 2 (середина AB)
- N = (c + d) / 2 (середина CD)
- P = (a + c) / 2 (середина AC)
- Q = (b + d) / 2 (середина BD)
3. Рассмотрим векторы, соединяющие точки:
- Вектор MN = N - M = [(c + d) / 2] - [(a + b) / 2] = (c + d - a - b) / 2
- Вектор PQ = Q - P = [(b + d) / 2] - [(a + c) / 2] = (b + d - a - c) / 2
4. Найдём, являются ли векторы MN и PQ параллельными. Для этого проверим, равны ли они по модулю и противоположны:
- Вектор MN = (c + d - a - b) / 2
- Вектор PQ = (b + d - a - c) / 2
Убедимся, что MN = -PQ:
- MN = (c + d - a - b) / 2
- -PQ = -[(b + d - a - c) / 2] = (a + c - b - d) / 2
Следовательно:
- MN = -PQ
Это доказывает, что MN и PQ параллельны и равны по модулю.
5. Поскольку две пары противоположных сторон в параллелограмме равны и параллельны, точки M, N, P и Q образуют параллелограмм.
6. Если в четырехугольнике ABCD середины противоположных сторон и диагоналей лежат на одной прямой, это означает, что ABCD – выпуклый четырёхугольник. В этом случае векторы MN и PQ будут коллинеарны (параллельны и направлены в одну сторону).
Ответ:
Середины противоположных сторон и диагоналей любого четырёхугольника образуют параллелограмм. Если середины этих отрезков лежат на одной прямой, то четырёхугольник является выпуклым.