Дано:
- Четырёхугольник ABCD.
- M и N – середины противоположных сторон AB и CD соответственно.
- P и Q – середины диагоналей AC и BD соответственно.
Найти:
- Доказать, что точки M, N, P и Q образуют параллелограмм или лежат на одной прямой.
Решение:
1. Рассмотрим координаты вершин четырёхугольника:
- Пусть A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4).
2. Вычислим координаты точек-середин:
- Координаты точки M (середина AB):
M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
- Координаты точки N (середина CD):
N = ((x3 + x4)/2, (y3 + y4)/2)
- Координаты точки P (середина AC):
P = ((x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2)
- Координаты точки Q (середина BD):
Q = ((x2 + x4)/2, (y2 + y4)/2)
3. Теперь найдем векторы MN и PQ:
- Вектор MN:
MN = N - M = (((x3 + x4)/2) - ((x1 + x2)/2), ((y3 + y4)/2) - ((y1 + y2)/2))
= ((x3 + x4 - x1 - x2)/2, (y3 + y4 - y1 - y2)/2)
- Вектор PQ:
PQ = Q - P = (((x2 + x4)/2) - ((x1 + x3)/2), ((y2 + y4)/2) - ((y1 + y3)/2))
= ((x2 + x4 - x1 - x3)/2, (y2 + y4 - y1 - y3)/2)
4. Сравним векторы MN и PQ:
- Если мы можем показать, что MN || PQ, то это будет означать, что стороны MN и PQ равны по направлению, что указывает на то, что фигура может быть параллелограммом.
5. Рассмотрим сумму векторов:
- Сложим векторы MN и PQ:
MN + PQ = ((x3 + x4 - x1 - x2 + x2 + x4 - x1 - x3)/2, (y3 + y4 - y1 - y2 + y2 + y4 - y1 - y3)/2)
= ((2 * (x4 - x1))/2, (2 * (y4 - y1))/2)
= (x4 - x1, y4 - y1)
- Этот результат показывает, что сумма векторов равна вектору от точки A к точке D (если они не коллинеарны).
6. Если векторы MN и PQ равны, то они параллельны и имеют одинаковую длину, и в этом случае точки M, N, P и Q образуют параллелограмм.
7. Если они не равны, но все четыре точки находятся на одной линии, тогда они будут лежать на одной прямой.
Ответ:
Следовательно, середины противоположных сторон и середины двух диагоналей четырёхугольника образуют параллелограмм либо лежат на одной прямой.