Дано:
- Треугольник ABC.
- Произвольная точка D на стороне BC.
Найти:
- Доказать, что середины всех отрезков, соединяющих вершину A с произвольной точкой D на стороне BC, лежат на одной прямой.
Решение:
1. Обозначим:
- A = (x1, y1)
- B = (x2, y2)
- C = (x3, y3)
- D = (x, y) (произвольная точка на стороне BC)
2. Найдём середины отрезков:
- Середина отрезка AD: M1 = ((x1 + x) / 2, (y1 + y) / 2)
- Середина отрезка BD: M2 = ((x2 + x) / 2, (y2 + y) / 2)
- Середина отрезка CD: M3 = ((x3 + x) / 2, (y3 + y) / 2)
3. Мы докажем, что точки M1, M2 и M3 лежат на одной прямой. Рассмотрим векторы, соединяющие эти точки:
- Вектор M2M1 = M1 - M2 = (((x1 + x) / 2) - ((x2 + x) / 2), ((y1 + y) / 2) - ((y2 + y) / 2)) = ((x1 - x2) / 2, (y1 - y2) / 2)
- Вектор M3M2 = M2 - M3 = (((x2 + x) / 2) - ((x3 + x) / 2), ((y2 + y) / 2) - ((y3 + y) / 2)) = ((x2 - x3) / 2, (y2 - y3) / 2)
4. Проверим, что векторы M2M1 и M3M2 коллинеарны (параллельны). Для этого определим их коэффициент направления:
- Коэффициент направления вектора M2M1: (y1 - y2) / (x1 - x2)
- Коэффициент направления вектора M3M2: (y2 - y3) / (x2 - x3)
Так как отрезки AD, BD и CD делятся в отношении 1:1 по своим средним точкам, это означает, что векторы M2M1 и M3M2 имеют одинаковое направление. Это показывает, что точки M1, M2 и M3 лежат на одной прямой.
Ответ:
Середины всех отрезков, соединяющих вершину A с произвольной точкой D на стороне BC, лежат на одной прямой.