Дано:
- Шестиугольник ABCDEF.
- Противоположные стороны AB и DE параллельны и равны (AB || DE и AB = DE).
Найти:
- Доказать, что середины четырёх оставшихся сторон (BC, CD, EF, FA) образуют параллелограмм.
Решение:
1. Обозначим середины сторон шестиугольника как M, N, O и P:
- M — середина BC,
- N — середина CD,
- O — середина EF,
- P — середина FA.
2. Поскольку AB || DE и AB = DE, проведем следующие рассуждения:
a. Учитывая, что AB и DE параллельны и равны, можно построить векторы, чтобы выразить параллельность и равенство. Пусть A, B, D и E лежат на одной прямой, и векторы можно записать как:
AB = DE.
b. Рассмотрим средние линии. Соединяя середины BC и EF (т.е., M и O), а также CD и FA (т.е., N и P), получаем два отрезка, которые будут равны и параллельны соответственно к отрезкам, соединяющим середины противоположных сторон (AB и DE).
3. Докажем, что MNOP — параллелограмм:
a. Отрезки MN и OP:
Поскольку AB и DE параллельны и равны, отрезки соединяющие середины BC и EF, а также CD и FA, будут равны и параллельны. Это следует из свойства, что середины параллелограмма образуют другие параллелограммы.
b. Проверим, что MN || OP и MN = OP, и что NO || MP и NO = MP. Используем свойства средних линий для подтверждения этих фактов:
В середине каждой из средних линий расположены центры параллелограммов (поскольку стороны AB и DE равны и параллельны, следовательно MN и OP будут параллельны и равны). То же самое касается NO и MP.
Таким образом, если MN и OP равны и параллельны, а также NO и MP равны и параллельны, то MNOP — параллелограмм.
Ответ:
Середины четырех оставшихся сторон шестиугольника (BC, CD, EF, FA) образуют параллелограмм.