Дано: треугольник ABC, где на основании AC выбрана точка M, делящая AC в отношении 2:1. Проводим отрезок BM.
Найти: докажите, что отрезок BM разбивает треугольник ABC на два треугольника, у которых медианы равны.
Решение:
1. Обозначим точку деления: пусть точка M делит сторону AC в отношении 2:1, т.е. AM:MC = 2:1.
2. Рассмотрим треугольники ABM и BCM.
3. Обозначим N - середину стороны BM, а точка P - середина стороны BC.
4. Найдем медианы в треугольниках ABM и BCM:
- В треугольнике ABM медиана от A к BM пересекает BM в точке N. Т.к. M делит AC в отношении 2:1, точка N делит BM в отношении 1:2.
- В треугольнике BCM медиана от B к AC пересекает AC в точке P. Поскольку точка M делит AC в отношении 2:1, медиана от B будет иметь ту же длину в треугольнике BCM.
5. Рассмотрим медиану BM. В треугольнике ABM медиана BM делит треугольник на две равные части по площадям, также как и медиана от B в треугольнике BCM.
6. Поскольку BM - это медиана, она делит треугольник ABM и треугольник BCM на два треугольника, в каждом из которых медиана от B делится по отношению 1:2.
7. Таким образом, медианы BM в треугольниках ABM и BCM равны по длине, что и требовалось доказать.
Ответ: треугольники ABM и BCM имеют равные медианы.