Дано: Трапеция ABCD, в которой основание AD в два раза больше основания BC. Перпендикуляр DH опущен из вершины D на сторону BC. Требуется доказать, что треугольник CHD равнобедренный.
Решение:
1. Пусть в трапеции ABCD основание AD = 2x, а основание BC = x. Перпендикуляр DH опущен из вершины D на сторону BC, и точка падения перпендикуляра на BC обозначена как H.
2. В трапеции основания параллельны, то есть AD || BC. Поэтому углы при основании равны: угол ADB = угол DBC, и угол DAB = угол DCB.
3. Поскольку AD и BC параллельны, а DH перпендикулярно обеим основаниям, то отрезки DH и HC параллельны и перпендикулярны AD и BC соответственно.
4. Теперь рассмотрим треугольник CHD. Из треугольника ADB и треугольника CHD видно, что DH перпендикулярен основанию BC, следовательно, DH перпендикулярен и CH (так как BC и CH параллельны).
5. Треугольники CHD и DHC имеют общий угол HDC, а DH является высотой из точки D. В треугольнике CHD, так как DH перпендикулярен CH и BC, треугольник CHD будет равнобедренным, так как длины CH и DH равны по определению.
6. Используем равенство углов: угол CHD = угол CHD (общий угол), и угол DHC = угол HCD (поскольку треугольник HCD равнобедренный). Поскольку DH = DH (общий отрезок), мы можем заключить, что треугольник CHD равнобедренный.
Ответ: Треугольник CHD равнобедренный, поскольку DH является высотой, опущенной из точки D на BC, и основание трапеции AD в два раза больше основания BC.