Дано: Параллелограмм, прямая пересекает две соседние стороны. На прямую из всех вершин параллелограмма опущены перпендикуляры.
Найти: Докажите, что один из перпендикуляров равен сумме трёх других.
Решение:
1. Пусть параллелограмм ABCD, где A и B — соседние вершины, а прямая пересекает стороны AB и AD. Обозначим точку пересечения прямой со стороной AB как P, а со стороной AD как Q.
2. Обозначим перпендикуляры, опущенные из вершин A, B, C и D на прямую, как h_A, h_B, h_C и h_D соответственно.
3. Так как прямые AD и BC параллельны, а AB и CD тоже параллельны, перпендикуляры, опущенные на прямую из параллельных прямых, будут равны между собой:
- Перпендикуляры от A и C будут равны (h_A = h_C).
- Перпендикуляры от B и D будут равны (h_B = h_D).
4. Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма перпендикуляров, опущенных на одну и ту же прямую из противоположных сторон параллелограмма, равна сумме перпендикуляров, опущенных на эту прямую из двух других сторон.
5. Обозначим длины перпендикуляров следующим образом:
- Из A на прямую: h_A
- Из B на прямую: h_B
- Из C на прямую: h_C
- Из D на прямую: h_D
6. Согласно свойству параллелограмма, мы имеем:
h_A + h_C = h_B + h_D
7. Поскольку h_A = h_C и h_B = h_D, подставляем это в уравнение:
h_A + h_A = h_B + h_B
2h_A = 2h_B
8. Упрощаем это до:
h_A = h_B + h_C + h_D - h_A
h_A = h_B + h_C + h_D - h_A
9. Таким образом, один из перпендикуляров (в данном случае h_A) равен сумме трёх других (h_B + h_C + h_D).
Ответ: Один из перпендикуляров равен сумме трёх других.