Два отрезка, соединяющих вершину параллелограмма с серединами его противоположных сторон, перпендикулярны. Найдите отношение диагоналей параллелограмма.
от

1 Ответ

Дано: Параллелограмм ABCD с вершинами A, B, C и D. Обозначим середины сторон AB и CD как E и F соответственно, а середины сторон BC и AD как G и H соответственно. Два отрезка AE и CF, соединяющие вершину параллелограмма с серединами противоположных сторон, перпендикулярны. Найти отношение диагоналей параллелограмма.

Решение:

1. Обозначим диагонали параллелограмма как AC и BD. Пусть они пересекаются в точке O.

2. В параллелограмме по свойству средних линий:
   - Сегменты, соединяющие середины противоположных сторон, называются средними линиями и параллельны диагоналям. Эти отрезки равны половине соответствующих диагоналей параллелограмма.

3. Обозначим длины диагоналей AC и BD как d1 и d2 соответственно. Средние линии в этом случае будут равны d1/2 и d2/2.

4. Так как отрезки AE и CF перпендикулярны, и они являются средними линиями параллелограмма:
   - AE и CF перпендикулярны, когда соответствующие диагонали параллелограмма (AC и BD) равны.

5. Для перпендикулярных отрезков AE и CF, диагонали параллелограмма удовлетворяют следующему условию:
   d1^2 + d2^2 = (d1/2)^2 + (d2/2)^2

6. Подставляем:
   d1^2 + d2^2 = (d1^2 / 4) + (d2^2 / 4)

   Упрощаем:
   4(d1^2 + d2^2) = d1^2 + d2^2
   3(d1^2 + d2^2) = 0
   d1^2 = d2^2

   Таким образом, d1 = d2

7. Отношение диагоналей параллелограмма:
   d1 / d2 = 1

Ответ: Отношение диагоналей параллелограмма равно 1:1.
от