Дано:
- Два подобных треугольника ABC и A'B'C', где коэффициент подобия k.
Найти:
- Доказать, что медианы, высоты и биссектрисы, проведённые к соответствующим сторонам, относятся как коэффициент подобия k.
Решение:
1. Определим, что треугольники ABC и A'B'C' подобны, значит, их соответствующие стороны пропорциональны:
AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C' = k.
2. Рассмотрим медиану. Медиана, проведённая из вершины A к стороне BC, делит сторону BC на две равные части. Обозначим медиану как m и соответствующую медиану треугольника A'B'C' как m'.
3. Поскольку треугольники подобны, медианы также будут относиться как коэффициент подобия:
m / m' = k.
4. Аналогично, высота, проведённая из вершины A к основанию BC, обозначим как h, а высоту треугольника A'B'C' как h'. Так как высоты также пересекают основание под одинаковым углом, то:
h / h' = k.
5. Рассмотрим биссектрису, проведённую из вершины A к стороне BC, обозначим её как b и соответствующую биссектрису A'B'C' как b'. Поскольку углы при вершинах треугольников равны, то:
b / b' = k.
6. На основании вышеизложенного, медианы, высоты и биссектрисы относятся как коэффициент подобия:
m : m' = h : h' = b : b' = k.
Ответ:
Медианы, высоты и биссектрисы в подобных треугольниках относятся как коэффициент подобия.