дано: Две равные окружности радиуса R проходят через центры друг друга и пересекаются в точках A и B. Линия центров окружностей пересекает одну из них в точке C.
найти: Доказать, что треугольник ABC равносторонний.
решение:
1. Пусть центры окружностей O1 и O2. Поскольку окружности равны и пересекаются в точках A и B, отрезок O1O2 равен 2R (длине диаметра одной из окружностей).
2. Точки A и B лежат на обеих окружностях, следовательно, O1A = O1B = R и O2A = O2B = R.
3. Линия центров O1O2 пересекает окружность в точке C. Так как O1O2 = 2R, и C лежит на окружности радиуса R, отрезок O1C = R.
4. Треугольники O1AC и O2BC являются равнобедренными, поскольку O1A = O1C = R и O2B = O2C = R.
5. Поскольку O1A = O1B = R и O2A = O2B = R, треугольники O1AB и O2AB равны по двум сторонам и углу между ними.
6. В результате, треугольник ABC имеет все стороны равные: AB = BC = CA = R. Это доказывает, что треугольник ABC равносторонний.
ответ: Треугольник ABC равносторонний.