Дано: четырёхугольник ABCD, в котором два противоположных угла прямые, а диагонали перпендикулярны. Найти: доказать, что одна из диагоналей делит другую пополам.
Решение:
1. Обозначим углы четырехугольника ABCD: угол A и угол C прямые, то есть угол A = 90° и угол C = 90°. Диагонали пересекаются под прямым углом, то есть угол пересечения диагоналей равен 90°.
2. Обозначим диагонали AC и BD. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Так как углы A и C прямые, то четырехугольник ABCD имеет свои диагонали, пересекающиеся под прямым углом.
3. Используем теорему о прямоугольных четырехугольниках, в которых диагонали перпендикулярны. В таких четырехугольниках диагонали делятся точкой их пересечения пополам.
4. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Эти треугольники равны по двум углам и одной стороне (углы по 90°, диагонали перпендикулярны, общая сторона - точка O). Поэтому AOB ≅ COD.
5. Поскольку треугольники AOB и COD равны, их соответствующие стороны равны. Следовательно, отрезки AO и OC равны, а также BO и OD равны.
6. Так как отрезки AO и OC равны, диагональ AC делится пополам точкой O. Аналогично, поскольку отрезки BO и OD равны, диагональ BD делится пополам точкой O.
Ответ: Одна из диагоналей делит другую пополам.