Question

Докажите, что на окружности Эйлера лежат ещё три точки – середины отрезков, которые соединяют его ортоцентр с вершинами треугольника. Этот факт позже обнаружил немецкий математик Фейербах, и поэтому окружность Эйлера обычно называют окружностью 9 точек.

Answer 1

Дано: Треугольник ABC, ортоцентр H, и его окружность Эйлера.

Найти: Доказать, что на окружности Эйлера лежат середины отрезков, соединяющих ортоцентр H с вершинами треугольника.

Решение:

1. Определим точки M, N и P как середины отрезков AH, BH и CH соответственно.
2. Для начала покажем, что точки M, N и P лежат на окружности Эйлера.

3. Окружность Эйлера проходит через следующие 6 точек:
   - Средние точки сторон треугольника (точки, делящие стороны на равные части)
   - Ортоцентр H
   - Средние точки отрезков от ортоцентра к вершинам треугольника

4. Докажем, что M, N и P лежат на окружности Эйлера. Средние точки отрезков AH, BH и CH, обозначенные как M, N и P, формируют дополнительное треугольное подмножество, которое также можно проверить на принадлежность окружности Эйлера.

5. Мы используем свойства треугольника и его ортопроекции. Поскольку M, N и P являются серединами отрезков от ортоцентра H к вершинам треугольника, и все эти отрезки пересекаются в точках, которые лежат на окружности Эйлера.

Ответ: Средние точки отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, действительно лежат на окружности Эйлера.