Дано: Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А в точках В и С. Перпендикуляр из точки В на другую сторону угла пересекает прямую АО в точке М.
Найти: Доказать, что отрезок ВМ равен радиусу данной окружности.
Решение:
1. Обозначим радиус окружности как R.
2. Так как окружность касается сторон угла в точках В и С, отрезки ВО и СО равны радиусу и перпендикулярны касательным к окружности.
3. Перпендикуляр из точки В к другой стороне угла (предположим, что это сторона AB) пересекает прямую АО в точке М.
4. Поскольку ВО - радиус окружности, угол ОБВ равен 90 градусов.
5. Треугольник ВОМ прямоугольный, с прямым углом при В.
6. Отрезок ВМ - это высота в этом прямоугольном треугольнике. В этом случае ВМ перпендикулярен АО.
7. Рассмотрим треугольник ВОМ. Мы знаем, что ВО - радиус окружности, и по определению касательной и радиуса к касательной, ВМ равен радиусу окружности (поскольку ВО и ВМ лежат на одной прямой, а М находится на окружности, то ВМ = ВО).
Ответ: Отрезок ВМ равен радиусу данной окружности.