Дано:
Четырехугольник ABCD, в котором выполняется условие: AB + CD = AD + BC.
Найти:
Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Решение:
1. Обозначим длины сторон четырехугольника:
Сторона AB = a,
Сторона BC = b,
Сторона CD = c,
Сторона DA = d.
2. Условие задачи гласит, что:
a + c = b + d.
3. Для того чтобы доказать, что четырехугольник является вписанным, необходимо показать, что сумма длин противоположных сторон равна:
a + c = b + d.
4. Перепишем данное уравнение:
a + c - b - d = 0.
5. Это уравнение можно трактовать как равенство площадей треугольников, образованных из вершин ABCD. Если провести диагонали AC и BD, они разделят четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA.
6. Из условия следует, что сумма длин отрезков, соединяющих точки A и C с точками B и D, одинаковая. Это означает, что расстояния от точек B и D до прямой, проходящей через A и C, будут равны.
7. Рассмотрим вписанную окружность в четырехугольник ABCD. Если такая окружность существует, то каждая из сторон будет касаться окружности в одной точке, что дает нам равенство длин отрезков, проведенных из центров окружности до каждой стороны.
8. Поскольку мы уже показали, что сумма длин противоположных сторон равна, это подразумевает, что эти касательные отрезки также равны между собой.
9. Таким образом, существует единственная окружность, которая касается всех четырех сторон ABCD.
Ответ:
Следовательно, если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.