Дано:
Выпуклый четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD перпендикулярны.
Найти:
Докажите, что суммы квадратов противоположных сторон равны, то есть AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2.
Решение:
1. Обозначим длины сторон четырехугольника:
AB = a,
BC = b,
CD = c,
AD = d.
2. Поскольку диагонали AC и BD перпендикулярны, можно использовать свойства треугольников, образованных диагоналями.
3. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. В каждом из этих треугольников применим теорему Пифагора:
Для треугольника ABD:
AB^2 + AD^2 = BD^2.
4. Для треугольника CDB:
BC^2 + CD^2 = BD^2.
5. Из этих уравнений выразим BD^2:
BD^2 = a^2 + d^2
и
BD^2 = b^2 + c^2.
6. Поскольку обе стороны равны, можно записать:
a^2 + d^2 = b^2 + c^2.
7. Перепишем это уравнение в виде:
a^2 + c^2 = b^2 + d^2.
8. Таким образом, мы получили равенство:
AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2.
Ответ:
Суммы квадратов противоположных сторон равны: AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2.