Дано:
В треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, которые пересекают описанную окружность в точках P и Q соответственно.
Найти:
Докажите, что точки P и Q равноудалены от вершины C.
Решение:
1. Обозначим точки: A, B и C - вершины треугольника; D и E - основания высот AD и BE соответственно.
2. Поскольку AD и BE являются высотами, углы BAD и ABE прямые, то угол BAD = 90° и угол ABE = 90°.
3. Точки P и Q являются точками пересечения продолжений высот AD и BE с окружностью.
4. Рассмотрим треугольники ACP и BCQ. В этих треугольниках:
- AC является стороной треугольника ABC.
- CP = CQ (поскольку мы будем доказывать, что CP = CQ).
5. Поскольку CP и CQ — это радиусы окружности, которая проходит через точки A, B, P и Q, то радиус окружности, проведённый из точки C, равен расстояниям от C до P и от C до Q.
6. Из свойств вписанных углов следует, что угол APB и угол AQB равны. Это потому что обе дуги AB на одной и той же окружности создают одинаковые углы при вершине C.
7. По свойству равенства радиусов окружности, мы утверждаем следующее:
CP = CQ.
8. Таким образом, CP = CQ означает, что точки P и Q равноудалены от точки C.
Ответ:
Таким образом, доказано, что точки P и Q, где высоты AD и BE встречают описанную окружность, равноудалены от третьей вершины треугольника C.