Дано:
Треугольник ABC с углами A, B и C. Биссектрисы углов A и B пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках M и K соответственно.
Найти:
Доказать, что отрезок MK перпендикулярен биссектрисе угла C.
Решение:
1. Обозначим угол A как угол BAC, угол B как угол ABC, а угол C как угол ACB. Пусть D — точка пересечения биссектрисы угла C с основанием AB.
2. По определению, биссектрисы углов делят углы пополам:
- Угол BAM = угол CAM = α/2, где α — угол C.
- Угол ABK = угол CBK = β/2, где β — угол B.
3. Рассмотрим, что биссектрисы углов A и B пересекают описанную окружность в точках M и K. Поскольку M и K лежат на окружности, то по свойствам окружности мы имеем:
- Угол AMK = 180° - (α/2 + β/2) = 180° - (γ/2), где γ = угол C.
4. Также, поскольку D — точка на биссектрисе угла C, то по свойству биссектрисы, угол ADB равен углу CAD. То есть:
- Угол ADB = γ/2.
5. Теперь рассмотрим угол AMK и угол ADB. Так как сумма углов в точке M на окружности равна 180°, можно записать:
- Угол AMK + угол ADB = 180°.
Таким образом,
- угол AMK = 180° - угол ADB.
6. Это означает, что угол AMK равен 90°. Следовательно, отрезок MK перпендикулярен биссектрисе угла C.
Ответ:
Таким образом, доказано, что отрезок MK перпендикулярен биссектрисе угла C.