Дано:
Две окружности пересекаются в точках A и B. На одной из них выбрана произвольная точка M. Прямые MA и MB пересекают вторую окружность в точках P и Q.
Найти:
Доказать, что длина хорды PQ не зависит от выбора точки M.
Решение:
1. Рассмотрим две окружности: первую с центром O1 и радиусом R1, и вторую с центром O2 и радиусом R2. Хорда PQ определяется точками P и Q, которые являются пересечениями прямых MA и MB со второй окружностью.
2. По теореме о секущей и касательной, длина хорды, проведенной через две заданные точки на окружности, равна:
длина хорды PQ = 2 * R * sin( угол PMQ / 2),
где R — радиус второй окружности, а угол PMQ — угол между радиусами, проведенными к точкам P и Q.
3. Обратите внимание, что углы PMA и QMB будут меняться при изменении точки M, но сумма углов PMA + QMB остается постоянной, так как они являются внешними углами для треугольника AMB, где A и B фиксированы.
4. Угол PMQ также будет оставаться постоянным, поскольку он является частью развернутого угла, образуемого линиями AM и BM. Таким образом, величина угла PMQ не зависит от положения точки M.
5. Следовательно, длина хорды PQ при любом выборе точки M всегда будет равна:
длина хорды PQ = 2 * R * sin( const / 2),
где const – постоянный угол, связанный с фиксированными точками A и B и радиусом второй окружности.
Ответ:
Таким образом, длина хорды PQ не зависит от выбора точки M, так как угол PMQ остается постоянным при изменении точки M.